Monty Hall Problem

Hier kan je zelf het Monty Hall Probleem simuleren. Nadien krijg je de uitleg waarom jouw strategie al dan niet succesvol was.

Blackburn over Polkinghorne

De Britse theoloog en fysicus Polkinghorne schrijft regelmatig over de relatie tussen godsdienst en wetenschap. Een van zijn basisstellingen is dat de wetenschap ons de mogelijkheid geeft om te zien dat het bestaan van een God zeer plausibel is (typisch voorbeeld: de wetenschappers hebben ontdekt dat de numerieke waarden van de natuurconstanten - lading van het electron, snelheid van het licht, ... - precies zo zijn dat menselijk leven mogelijk is. Was de lading van het electron een fractie groter of kleiner, dan zouden er geen stabiele moleculen kunnen ontstaan, en dus geen leven. Het feit dat de natuurconstanten zijn wat ze zijn, moet dus wel impliceren dat iets of iemand daarvoor gezorgd heeft.).

De Britse filosoof Simon Blackburn schreef een boekspreking over twee recente boeken van Polkinghorne. De Humeaanse ironie die Blackburn hanteert om de stellingen van Polkinghorne te analyseren, maken deze boekbespreking zeker het lezen waard. Hier alvast een voorsmaakje:

"In Princeton, Polkinghorne earnestly assures us, he and an ‘interdisciplinary group of scholars’ recently spent three fruitful years making scientific estimates of God’s plans for the destiny of the world. According to Polkinghorne and the Princetonians, the last things, when the day of judgment comes and the tombs are opened, are a bit like what we have now, but also a bit different: they are an ‘interplay between continuity and discontinuity.’ They do not include real Hell. They only include people who have not asked for admission to heaven, and these get some kind of after-life Bible classes. Beyond that, Heaven itself is a bit vague, but it includes pilgrimage and progress, and increasing fullness. Heaven does not provide endless harps and psalms; nor, I think, does it afford Aquinas’s favored pleasure of watching the tortures of the damned, nor Islamís seventy-two virgins per male martyr. In fact, I could not discover whether it included sex at all, but in their three years of deliberations Polkinghorne’s group has determined—scientifically, remember—that it possibly does include some animals, especially domestic pets, although perhaps not too many of them, since it is permissible for God to ‘cull individuals in order to preserve the herd.’

In any case, we need not inquire too closely into these details of Polkinghorne’s and the Princetonians’s high deliberations, since we are assured in advance that all manner of things shall be well. But why did God not skip the first course, the current Vale of Tears, and go straight to the Fields of Elysium? We are confidently assured that the team’s work ‘clearly establishes the value of the old creation, since it affords the raw material for eschatological transformation into the new creation.’ Even God, it seems, cannot make an omelet without breaking eggs."

Gödel (alweer)

In het vorige bericht heb ik enkele opmerkingen gemaakt over de kennistheoretische implicaties i.v.m. Gödels onvolledigheidsstellingen. In dit bericht wil ik een eerder technische opmerking naar voor brengen i.v.m. onbewijsbaarheid (in PR) van de consistentie van PR.

De axioma's van PR bestaan uit een eindig aantal axioma's die de elementaire eigenschappen van de rekenkundige bewerkingen (optelling, vermenigvuldiging en de opvolgersfunctie) vastleggen, en het inductieschema dat bestaat uit een oneindig aftelbaar aantal axioma's (voor iedere formule met 1 vrije variabele een axioma dat zegt dat deze formule voldoet aan het inductieprincipe). Deze theorie is, zoals eerder gezegd niet in staat haar eigen consistentie te bewijzen. Deze theorie is echter wel in staat het volgende te bewijzen: Voor elke eindige deelverzameling van de axiomas van PR, kan PR bewijzen dat deze verzameling consistent is.

Merk op dat dit resultaat vrij sterk is. We kunnen het namelijk gebruiken om aan te tonen dat voor een willekeurige formule F in de taal van PR het niet zo kan zijn dat PR zowel F als niet-F bewijst.Veronderstel immers dat er wel een dergelijke formule bestaat. We beschikken dan over een eindige verzameling axioma's waaruit F kan worden afgeleid en, we beschikken ook over een eindig aantal axioma's waaruit niet-F kan worden afgeleid. De unie van deze twee eindige verzamelingen van axioma's is opnieuw een eindige deelverzameling van axioma's Γ waarvoor het volgende geldt:
1) Γ bewijst F en niet-F (veronderstelling)
2) Γ is consistent
Deze twee conclusies spreken elkaar tegen en dus was onze aanname - dat er een formule bestaat waarvoor zowel F als niet-F bewijsbaar zijn in PR - fout. (dit alles natuurlijk in de veronderstelling dat PA consistent is).

Bovenstaande redenering kan ook volledig geformaliseerd worden binnen PR. Waarom bewijst PR dan niet haar eigen consistentie? Heel eenvoudig: om de consistentie van PR uit bovenstaande stellingen af te leiden binnen PR, moet PR ook het volgende bewijzen: "als er, voor elke eindige deelverzameling van axioma's binnen PR een bewijs bestaat dat deze deelverzameling consistent is, dan is deze verzameling ook consistent". Deze laatste bewering is niet bewijsbaar binnen PR en is dus de enige struikelblok om de consistentie binnen PR te bewijzen.