dinsdag 23 december 2008

Yablo's paradox

De bekendste logische paradoxen lijken hun paradoxaal karakter te ontlenen aan het feit dat er bij de formulering ervan op een of andere wijze wordt gebruik gemaakt van zelfreferentie. De "oplossing" van dergelijke paradoxen wordt dan ook meestal gezocht in de constructie van een formele talen waarin dergelijke zelfreferentie niet toegelaten is.

De vraag is maar of de volgende paradox (geformuleerd door Yablo) op eenzelfde manier onschadelijk kan worden gemaakt.

Beschouw de volgende oneindige rij van uitspraken:

s0: voor alle k > 0, sk is onwaar,
s1: voor alle k > 1, sk is onwaar,
s2: voor alle k > 2, sk is onwaar
...
sn: voor alle k > n, sk is onwaar
...

Onderstel dat voor een zekere m, de uitspraak sm waar is. Dan verkrijgen we enerzijds:
sm is waar ⇒ voor alle k > m, sk is onwaar ⇒ sm+1 is onwaar

Anderzijds volgt ook
sm is waar ⇒ voor alle k > m, sk is onwaar ⇒ voor alle k > m+1, sk is onwaar ⇒ sm+1 is waar

Dus de veronderstelling dat de uitspraak sl waar is leidt tot een contradictie (uit die veronderstelling volgt immers dat de daaropvolgende uitspraak sl+1 zowel waar als onwaar is).

Vermits in het bovenstaande m willekeurig was, moeten we dus veronderstellen dat alle uitspraken sm onwaar zijn. In het bijzonder kunnen we besluiten dat s0 onwaar is. Maar de onwaarheid van alle uitspraken impliceert ook dat de uitspraak "voor alle k > 0, sk is onwaar" waar is. We kunnen met andere woorden ook besluiten dat s0 waar is.

Deze paradox is dus opmerkelijk omdat zijn paradoxaal karakter (op het eerste gezicht) niet afhankelijk is van een of andere vorm van zelfreferentie.




Geen opmerkingen: