dinsdag 31 maart 2009

Gödel en de onzekere poten van wiskundige kennis

De vakgroep Moraalwetenschappen van de UGent organiseert jaarlijks een lezingenreeks over actuele filosofie. DIt jaar is de reeks gewijd aan de Filosofische reflectie over de wetenschappen. Vorige hield Diderik Batens een lezing getiteld "De zwakke poten van wiskundige kennis en de gevolgen daarvan". Het grootste deel van de voordracht was gewijd aan een mooie uiteenzetting over de wiskundige betekenis van de onvolledigheidsstellingen van Gödel (wat zeggen deze stellingen en hoe worden ze bewezen - de slides kan je hier downloaden). Het tweede deel van de uiteenzetting ging dan dieper in op de filosofische en kennistheoretische gevolgen van het werk van Gödel.

In dit tweede deel probeerde Batens de (wijdverspreide) stelling te verdedigen dat Gödels resultaten een verechtvaardiging vormen voor een sceptische houding ten opzichte van wiskundige kennis. Ik denk dat deze stelling onjuist is.

Vooraleer ik hierop verder inga is het nuttig om even te hernemen wat de onvolledigheisstellingen van Gödel inhouden.

De eerste onvolledigheidsstelling zegt dat de elementaire rekenkunde (zoals geformaliseerd in de axioma's van de Peano Rekenkunde (PR)) onvolledig is. Er bestaat, m.a.w., een formule G in de taal van de rekenkunde, zodat noch G, noch de negatie van G bewijsbaar zijn in PR (in de veronderstelling dat PR consistent is). Vermits een van de twee uitspraken, G niet-G, waar is, kan de stelling ook als volgt worden geformuleerd: er bestaan ware uitspraken van de elementaire rekenkunde (d.w.z. formules in de taal van PR) die echter niet bewijsbaar zijn in PR.

De tweede onvolledigheidsstelling zegt dat er onder de uitspraken G waarover sprake is in de eerste onvolledigheisstelling, er bij zijn met interessante metamathematische betekenis. Meer concreet zegt de tweede onvolledigheidsstelling dat er een formule Cons, in de taal PR, bestaat die de consistentie van PR uitdrukt, maar zodat Cons niet bewijsbaar is in PR (d.w.z. niet afleidbaar is uit de axioma's van PR).

De conclusies die Batens hieruit trekt zijn van sceptische aard:
1) er is geen garantie dat de rekenkunde consistent is
2) als we een bewijs vinden dat de rekenkunde consistent is, dan is ze waarschijnlijk inconsistent
3) menselijke constructies ontsnappen aan de menselijke geest

Ik heb uiteraard geen probleem met deze drie opmerkingen, wat ik wel betwijfel is of de stellingen van Gödel gebruikt kunnen worden om deze opmerkingen te ondersteunen.

Laat me beginnen met de eerste opmerking. Dat we geen garantie hebben voor de consistentie van de rekenkunde is uiteraard correct. Maar dat heeft niets te maken met Gödels resultaten. Dit kan makkelijk ingezien worden: ook indien Gödel had bewezen dat PR haar eigen consistentie bewijst, dan nog was de vraag of PR consistent is niet beantwoord. Immers, als PR inconsistent is dan bewijst het haar eigen consistentie (een inconsistente theorie bewijst alle uitspraken). Anders gezegd zelf indien we binnen PR een bewijs zouden hebben van de consistentie van PR, dan zouden we nog steeds niet kunnen besluiten of PR consistent is.

Voor iemand die twijfelt aan de consistentie van een formeel systeem is het feit of de consistentie ervan al dan niet kan bewezen worden binnen het systeem volledig irrelevant. Wat de scepicus wil is een bewijs van de consistentie in een systeem dat hij consistent acht. Maar de consistentie van elk systeem kan in principe in twijfel getrokken worden. Anders gezegd, een absoluut consistentie bewijs kan niet gegeven worden. Om dit in te zien hoeft men echter geen beroep te doen op de onvolledigheisstelling van Gödel.

Wat de tweede opmerking betreft. Er zijn bewijzen van voor de consistentie van PR. Een dergelijk bewijs werd door Gentzen geconstrueerd in 1936. Dit bewijs is uiteraard niet formaliseerbaar in PR, maar het is moeilijk in te zien dat dergelijk bewijs kan gelden als een reden om PR als inconsistent te beschouwen. De stelling van Gentzen geeft ook aan dat de constructie van de rekenkunde niet ontsnapt aan de menselijke geest. Ze ontsnapt aan een bepaalde axiomatisatie, maar niet aan de menselijk geest. De derde opmerking volgt met ander woorden ook niet uit de resultaten van Gödel.

Terzijde nog dit. Batens heeft verschillende keren verwezen naar de idee dat als zelf de elementaire rekenkunde niet volledig of consistent is, de rest van de wiskunde evenzeer op zwakke poten rust. Maar dit is een misvatting. Er zijn wel degelijk formele wiskundige theorieen die volledig en consistent zijn.

Geen opmerkingen: