Gödel (alweer)

In het vorige bericht heb ik enkele opmerkingen gemaakt over de kennistheoretische implicaties i.v.m. Gödels onvolledigheidsstellingen. In dit bericht wil ik een eerder technische opmerking naar voor brengen i.v.m. onbewijsbaarheid (in PR) van de consistentie van PR.

De axioma's van PR bestaan uit een eindig aantal axioma's die de elementaire eigenschappen van de rekenkundige bewerkingen (optelling, vermenigvuldiging en de opvolgersfunctie) vastleggen, en het inductieschema dat bestaat uit een oneindig aftelbaar aantal axioma's (voor iedere formule met 1 vrije variabele een axioma dat zegt dat deze formule voldoet aan het inductieprincipe). Deze theorie is, zoals eerder gezegd niet in staat haar eigen consistentie te bewijzen. Deze theorie is echter wel in staat het volgende te bewijzen: Voor elke eindige deelverzameling van de axiomas van PR, kan PR bewijzen dat deze verzameling consistent is.

Merk op dat dit resultaat vrij sterk is. We kunnen het namelijk gebruiken om aan te tonen dat voor een willekeurige formule F in de taal van PR het niet zo kan zijn dat PR zowel F als niet-F bewijst.Veronderstel immers dat er wel een dergelijke formule bestaat. We beschikken dan over een eindige verzameling axioma's waaruit F kan worden afgeleid en, we beschikken ook over een eindig aantal axioma's waaruit niet-F kan worden afgeleid. De unie van deze twee eindige verzamelingen van axioma's is opnieuw een eindige deelverzameling van axioma's Γ waarvoor het volgende geldt:
1) Γ bewijst F en niet-F (veronderstelling)
2) Γ is consistent
Deze twee conclusies spreken elkaar tegen en dus was onze aanname - dat er een formule bestaat waarvoor zowel F als niet-F bewijsbaar zijn in PR - fout. (dit alles natuurlijk in de veronderstelling dat PA consistent is).

Bovenstaande redenering kan ook volledig geformaliseerd worden binnen PR. Waarom bewijst PR dan niet haar eigen consistentie? Heel eenvoudig: om de consistentie van PR uit bovenstaande stellingen af te leiden binnen PR, moet PR ook het volgende bewijzen: "als er, voor elke eindige deelverzameling van axioma's binnen PR een bewijs bestaat dat deze deelverzameling consistent is, dan is deze verzameling ook consistent". Deze laatste bewering is niet bewijsbaar binnen PR en is dus de enige struikelblok om de consistentie binnen PR te bewijzen.