Gödel en de onzekere poten van wiskundige kennis

De vakgroep Moraalwetenschappen van de UGent organiseert jaarlijks een lezingenreeks over actuele filosofie. DIt jaar is de reeks gewijd aan de Filosofische reflectie over de wetenschappen. Vorige hield Diderik Batens een lezing getiteld "De zwakke poten van wiskundige kennis en de gevolgen daarvan". Het grootste deel van de voordracht was gewijd aan een mooie uiteenzetting over de wiskundige betekenis van de onvolledigheidsstellingen van Gödel (wat zeggen deze stellingen en hoe worden ze bewezen - de slides kan je hier downloaden). Het tweede deel van de uiteenzetting ging dan dieper in op de filosofische en kennistheoretische gevolgen van het werk van Gödel.

In dit tweede deel probeerde Batens de (wijdverspreide) stelling te verdedigen dat Gödels resultaten een verechtvaardiging vormen voor een sceptische houding ten opzichte van wiskundige kennis. Ik denk dat deze stelling onjuist is.

Vooraleer ik hierop verder inga is het nuttig om even te hernemen wat de onvolledigheisstellingen van Gödel inhouden.

De eerste onvolledigheidsstelling zegt dat de elementaire rekenkunde (zoals geformaliseerd in de axioma's van de Peano Rekenkunde (PR)) onvolledig is. Er bestaat, m.a.w., een formule G in de taal van de rekenkunde, zodat noch G, noch de negatie van G bewijsbaar zijn in PR (in de veronderstelling dat PR consistent is). Vermits een van de twee uitspraken, G niet-G, waar is, kan de stelling ook als volgt worden geformuleerd: er bestaan ware uitspraken van de elementaire rekenkunde (d.w.z. formules in de taal van PR) die echter niet bewijsbaar zijn in PR.

De tweede onvolledigheidsstelling zegt dat er onder de uitspraken G waarover sprake is in de eerste onvolledigheisstelling, er bij zijn met interessante metamathematische betekenis. Meer concreet zegt de tweede onvolledigheidsstelling dat er een formule Cons, in de taal PR, bestaat die de consistentie van PR uitdrukt, maar zodat Cons niet bewijsbaar is in PR (d.w.z. niet afleidbaar is uit de axioma's van PR).

De conclusies die Batens hieruit trekt zijn van sceptische aard:
1) er is geen garantie dat de rekenkunde consistent is
2) als we een bewijs vinden dat de rekenkunde consistent is, dan is ze waarschijnlijk inconsistent
3) menselijke constructies ontsnappen aan de menselijke geest

Ik heb uiteraard geen probleem met deze drie opmerkingen, wat ik wel betwijfel is of de stellingen van Gödel gebruikt kunnen worden om deze opmerkingen te ondersteunen.

Laat me beginnen met de eerste opmerking. Dat we geen garantie hebben voor de consistentie van de rekenkunde is uiteraard correct. Maar dat heeft niets te maken met Gödels resultaten. Dit kan makkelijk ingezien worden: ook indien Gödel had bewezen dat PR haar eigen consistentie bewijst, dan nog was de vraag of PR consistent is niet beantwoord. Immers, als PR inconsistent is dan bewijst het haar eigen consistentie (een inconsistente theorie bewijst alle uitspraken). Anders gezegd zelf indien we binnen PR een bewijs zouden hebben van de consistentie van PR, dan zouden we nog steeds niet kunnen besluiten of PR consistent is.

Voor iemand die twijfelt aan de consistentie van een formeel systeem is het feit of de consistentie ervan al dan niet kan bewezen worden binnen het systeem volledig irrelevant. Wat de scepicus wil is een bewijs van de consistentie in een systeem dat hij consistent acht. Maar de consistentie van elk systeem kan in principe in twijfel getrokken worden. Anders gezegd, een absoluut consistentie bewijs kan niet gegeven worden. Om dit in te zien hoeft men echter geen beroep te doen op de onvolledigheisstelling van Gödel.

Wat de tweede opmerking betreft. Er zijn bewijzen van voor de consistentie van PR. Een dergelijk bewijs werd door Gentzen geconstrueerd in 1936. Dit bewijs is uiteraard niet formaliseerbaar in PR, maar het is moeilijk in te zien dat dergelijk bewijs kan gelden als een reden om PR als inconsistent te beschouwen. De stelling van Gentzen geeft ook aan dat de constructie van de rekenkunde niet ontsnapt aan de menselijke geest. Ze ontsnapt aan een bepaalde axiomatisatie, maar niet aan de menselijk geest. De derde opmerking volgt met ander woorden ook niet uit de resultaten van Gödel.

Terzijde nog dit. Batens heeft verschillende keren verwezen naar de idee dat als zelf de elementaire rekenkunde niet volledig of consistent is, de rest van de wiskunde evenzeer op zwakke poten rust. Maar dit is een misvatting. Er zijn wel degelijk formele wiskundige theorieen die volledig en consistent zijn.

Atheïst of agnost?

Vorige week had ik een discussie met een aantal collega filosofen over het fundamentalistische karakter van het atheïsme. Volgens mijn medediscutanten is de basisstelling van het atheïsme (er bestaat geen god) even dogmatisch als de basisstelling van de gelovige (god bestaat). Immers, geen van beide stellingen zijn bewijsbaar. In zekere zin is dat waar, maar toch is dat mijns inziens geen voldoende reden om de atheist te brandmerken als een dogmaticus. Ook is dit geen voldoende reden om zichzelf agnost te noemen in plaats van atheist.
Er is immers iets vreemds aan te gang als het gaat over vragen in verband met het bestaan van een opperwezen. Iemand die zich negatief uitspreekt over het bestaan van eenhoorns, de Verschrikkelijke Sneeuwman of de paashaas, wordt doorgaans geen dogmaticus genoemd. Nochtans is hij ook niet in staat om het niet-bestaan van deze entiteiten te bewijzen. Toch zijn er geen agnosten als het over het bestaan van eenhoorns e.d. gaat. In dat geval zijn er slechts twee categorieën: believers en non-believers. Bij de non-believers zul je geen mensen aantreffen die beweren dat sommige van hun mede non-believers even dogmatisch zijn als de anderen. Enkel als het over god gaat, moet de categorie van non-believers verder worden onderverdeeld. Waarom dergelijke ondervredeling zin heeft als het over geloof in god gaat, maar zinloos is als over de paashaas is mij niet duidelijk. Sterker nog, het schaadt mijn gelijkheidsgevoel: alle fictionele enititeiten, of zo nu oude mannen met baarden zijn of dartele, chocolade-brengende viervoeters, hebben dezelfde rechten.

Als we kijken naar de twee stellingen "god bestaat" en "god bestaat niet", dan zien we trouwens dat de atheïstische stelling falsifieerbaar is, terwijl de theïstische stelling dat niet is. Dit betekent dat de atheïst zich kwetsbaarder (en dus minder dogmatisch) opstelt dan de theist.

Een argument dat door mijn gesprekspartners werd geformuleerd ten voordele van de agnostische positie, is dat de agnost vindt dat hij niets kan weten over "god" en dus ook geen uitspraken kan doen over het al dan niet bestaan er van. Maar dit betekent dat de agnost erkent dat het concept "god" geen betekenis heeft (als je er op geen enkele manier kan over praten, dan heeft het concept geen betekenis). Maar als een concept geen betekenis heeft, dan kan het ook worden geëlimineerd, en dan kan er ook niets aan beantwoorden. Maar dan is de agnost toch gewoon een atheïst.

Chomsky en Fodor over evolutie

Dat we dit jaar de 200ste verjaardag van Darwin en de 150ste verjaardag van de publicatie van 'The origin of species" vieren, is waarschijnlijk niemand ontgaan. In het kader hiervan is ook heel wat aandacht gegaan naar het groeiende religieuze verzet tegen de evolutieleer. Maar er zijn niet alleen religieuze fanatici die kritiek hebben op de evolutietheorie, ook serieuze filosofen hebben wel wat op de evolutietheorie aan te merken.

Zo heeft Chomsky zich op verschillende plaatsen negatief uitgelaten over de verklarende kracht van de evolutietheorie (Dennett besteedt dan ook een volledige hoofdstuk aan een aanval op Chomsky's positie in zijn Darwin's Dangerous Idea.) Over natuurlijke selectie schrijft Chomsky bijvoorbeeld het volgende:

"It is perfectly safe to attribute this development [of innate language structures] to "natural selection", so long as we realize that there is no substance to this assertion, that it amounts to nothing more than a belief that there is some naturalistic explanation for these phenomena." [Noam Chomsky, Language and Mind, 1972, p. 97]

Waar Chomsky hier op alludeert is het feit dat verwijzen naar natuurlijke selectie op zich niets verklaart en dus geen dienst kan doen om de oorsprong van bepaalde biologische processen te verklaren. Alhoewel Chomsky het argument nooit verder heeft uitgewerkt, heeft hij waarschijnlijk steeds een argument in gedachten gehad dat veel gelijkenissen vertoont met zijn argument tegen het behaviorisme. Dit argument is overgenomen en uitgewerkt door de filosoof J. Fodor. Een interessante en zeer duidelijk uiteenzetting van dit argument kan je hier vinden. (Voor Fodors kritiek uit eerste hand kan je hier terecht.)

PS: De kritiek van Fodor en Chomsky is, in tegenstelling tot de kritiek van creationisten, niet gebaseerd op dogmatische vooronderstellingen, maar gebaseerd op een goed begrip van de manier waarop wetenschappelijke verklaringen werken.